Numeros Infinitesimales

NÚMEROS
INFINITESIMALES

“La ecuación más importante en matemáticas es x² = 0“ (Michael Atiyah)

“Los infinitésimos son la forma de explicar el continuo” (Charles Sanders Peirce)

“No hay lo más pequeño entre lo pequeño, pues siempre hay algo todavía más pequeño” (Anaxágoras)

Concepto y Definición de Número infinitesimal
Un número infinitesimal (o infinitésimo) −normalmente denotado como ε− se define como “un número mayor que cero y menor que cualquier número real positivo”. Como ocurre con la definición de infinito, el infinitésimo no es un número real porque si lo fuera, la definición sería contradictoria, pues el infinititésimo tendría que ser menor que sí mismo.

Hay varias formas de definir un número infinitamente pequeño. Las dos formas más simples podrían ser, por ejemplo:

Como el inverso de un número cada vez más grande que tiende a infinito.
Mediante un proceso recursivo: dividiendo 1 sucesivamente por la mitad.

En ambos casos estamos ante un número dinámico, que nunca llega a estabilizarse. Es inalcanzable, como ocurre con los números irracionales, como √2. Aparentemente, no hay forma de definirlo con exactitud, de concretarlo, pues si lo hacemos, llegamos, como hemos dicho a una contradicción. Sin embargo, sorprendentemente, si existe una forma simple de hacerlo, que explicamos a continuación.

La definición moderna de infinitésimo es una entidad ε tal que su cuadrado es cero: ε² = 0. Esta definición de infinitésimo tiene muchas ventajas:

Es simple, la definición más simple posible. Pero esta simplicidad le otorga el máximo poder y creatividad.
Es una forma de reificarlo, en este caso a nivel operativo mediante una expresión imaginaria.
No es un número concreto. Se puede considerar un número cualitativo, la cualidad es la de ser un número infinitamente pequeño.
Se establece un paralelismo con la unidad imaginaria, definida también mediante una expresión imaginaria: (i² = −1). Ese paralelismo es tal que, de la misma manera que existen los números complejos de la forma a+bi, se definen también los llamados “números duales”, que son de la forma a+bε, siendo a y b números reales.
Hay que distinguir entre infinitésimo e infinitesimal. El primero es un sustantivo. El segundo es un calificativo de una entidad infinitamente pequeña.
Como en el caso de la unidad imaginaria i, que no es √(−1), ε no es √(0), pues se trata de una sustitución, no de una igualdad de una ecuación, pues si fuera una ecuación, ε sería cero. Sin duda, Michael Atiyah, en la cita de cabecera del capítulo, se refiere a una sustitución y no a una ecuación.

La enorme importancia que Atiyah da a esta expresión se justifica porque esta definición de infinitésimo constituye un puente entre lo discreto y lo continuo. De hecho, su aspecto más importante es que permite formalizar el concepto de derivada de una función de forma operativa.
Permite incluirse en las expresiones con números reales.
Es constante y estático. No depende de ninguna variable ni de ningún proceso.
Permite formalizar aspectos un tanto difusos como: números reales infinitamente próximos, funciones continuas, etc.
Permite definir infinitos números infinitesimales. En efecto, si ε es un infinitésimo, entonces rε también lo es para todo número real r porque (rε)² = 0.

Por lo tanto, todas las expresiones rε son infinitésimos, todos tienen la misma estructura operativa, y hay tantos infinitésimos como números reales, es decir, infinitos.
El hecho de que ε sea distinto de cero, permite imaginarlo como un segmento de la recta real infinitamente pequeño, estableciéndose así una estrecha relación entre continuo e infinitésimos. Así, pues, al continuo podemos asociarle dos clases de elementos:
1. Números reales, que corresponden a puntos geométricos, sin extensión.
2. Infinitésimos, que corresponden a segmentos infinitamente pequeños, pero con extensión.

En ambos casos estamos ante entidades imaginarias porque un punto geométrico no tiene existencia real y tampoco lo tiene un segmento infinitamente pequeño.

Especificación en MENTAL
Definición

El infinitésimo se define mediante la expresión de sustitución imaginaria (nilpotente)

(ε*ε = 0)

Propiedades

⟨( (ε^n = ε) ← n>1 )⟩ // se deduce de la definición
⟨( (r*ε)*(r*ε) = 0 )⟩ // id.
(ε*0 = 0) // ε se comporta como un número real
(ε−ε = 0) // id.
⟨( (r1<r2) → (r1*ε)<(r2*ε) )⟩
⟨( (r1 + ε*r2)*(r1 − ε*r2) = r1^2 )⟩
⟨( r^n = (1 + n*ε) )⟩

Ejemplos de expresiones con infinitésimos

(x = 1+ε) // se autoevalúa x*x // ev. (1 + 2*ε) x^3 // ev. (1 + 3*ε) x^4 // ev. (1 + 4*ε)

En general,
⟨( (x^n = 1 + n*ε )⟩
(x = 1 + 2*ε) // se autoevalúa x*x // ev. (1 + 4*ε) x+x // ev. (2 + 4*ε)
(x = 1 + 2*ε) // se autoevalúa (y = 1 - 2*ε) // se autoevalúa x*y // ev. 1

Infinitésimos de orden superior

Un infinitésimo de orden 2, simbolizado como ε/2, se define como

( (ε/2)*(ε/2) = ε/1 )

siendo ((ε/1) = ε).

Análogamente, un infinitésimo de orden 3 es:

( (ε/3)*(ε/3) = ε/2 ) En general, un infinitésimo de orden n:

⟨( (ε/n)*(ε/n) = ε/(n−1) )⟩

Números reales infinitamente próximos

Si r es un número real, r+ε es un número real infinitamente próximo a r.

Podríamos definir dos números infinitamente próximos, r1 y r2 mediante la expresión:

⟨( (r1∼r2) ↔ (abs(r1−r2) = ε) )⟩

siendo abs el valor absoluto:

⟨( abs(r) = (r ← r>0 →' −r) )⟩

Continuidad de una función

La expresión de continuidad (a la derecha) de una función f(r) en un punto r = r0 es:

⟨( (r = r0+ε) → (f(r) = f(r0) + ε) )⟩

Expresado de otra forma, aún más sencilla y general:

⟨( (r1 ∼ r2) ↔ (f(r1) ∼ f(r2)) )⟩

es decir, si r1 está infinitamente próximo a r2, entonces también lo están sus valores funcionales correspondientes f(r1) y f(r2).

Números Duales
Analogía con los números complejos

Los números duales son una extensión de los números reales. Tienen la forma (x + εy), siendo x e y números reales y ε una entidad tal que su cuadrado es cero (ε² = 0). La analogía con los números complejos cubre los aspectos siguientes:

El símbolo ε es un número imaginario que representa a un número infinitamente pequeño.
En un número dual (x + εy), x es la parte real e y es la parte imaginaria. Cuando y es cero, tenemos los números reales.
El número conjugado de (x + εy) es (x − εy). El producto de un número dual por su conjugado es x². En el caso de los números complejos conjugados, el resultado es x² + y².
Los números duales, como los complejos, se pueden representar de forma gráfica, sobre los ejes cartesianos x e y.
Todo círculo de radio rε tiene como longitud de la circunferencia 2πrε, y como superficie π(rε)² = 0. Y todo círculo de radio ri tiene como longitud de la circunferencia 2πri, y como superficie π(ri)2 = −πr². Así que círculos para los valores del radio (r) i, ε y 1 tienen de superficie −π, 0 y π, respectivamente. Luego, a nivel de círculo, ε está entre los valores i y 1.

Operaciones con números duales

Expresión dual	Expresión equivalente
(x + εy)ⁿ	xⁿ + xⁿ⁻¹yε
(1 + εy)ⁿ	1 + nyε
(1 + ε)ⁿ	1 + nε
(1 − ε)ⁿ	1 − nε
(x + εy)(x − εy)	x₂
(1 + ε)(1 − ε)	1
ε^ε	1 + ε
(x₁ + εy₁) + (x₂ + εy₂)	(x₁ + x₂) + ε(y₁ + y₂)
(x₁ + εy₁) − (x₂ + εy₂)	(x₁ + x₂) − ε(y₁ + y₂)
(x₁ + εy₁)(x₂ + εy₂)	x₁x₂ + ε(x₁y₂ + x₂y₁)
(x₁ + εy₁)^{(x₂ + εy₂)}	x₁^x₂ + ε (y₁x₂x₁x₂−1 + y₂ x₁^x₂ln(x₁)

Funciones con números duales

Expresión dual	Expresión equivalente
√(x + εy)	√x + εy/(2√(x)
e^x+εy	e^x(1 + εy)
ln(x + εy)	ln(x) + εy/x
sen(x + εy)	sen(x) + εy*cos(x)
cos(x + εy)	cos(x) − εy*sen(x)
tan(x + εy)	tan(x) + εy/cos²(x)
asen(x + εy)	asen(x) + εy/√(1 + x²)
acos(x + εy)	acos(x) − εy/√(1 + x²)
atan(x + εy)	atan(x) + εy/√(1 + x²)

Podemos comprobar la utilidad de estas expresiones. Por ejemplo, mediante la expresión

e^x+εy = e^x(1 + εy) podemos calcular la derivada de e^x: (e^{(x + ε)} − e^x)/ε = e^x

Adenda
Breve historia de los infinitésimos

El concepto de infinitésimo ha estado rodeado, desde sus orígenes, de una gran controversia filosófica respecto a su existencia. Fueron rechazados históricamente por ser entidades metafísicas que no podían ser definidos formalmente. Y, en el caso de su existencia, de su verdadera naturaleza: constante, variable, número imaginario, número cualitativo (sin magnitud), cero relativo (en vez de cero absoluto), número dinámico, genérico, etc. Ha sido siempre un desafío a la lógica y a los conceptos tradicionales. Algunas de las críticas que se le hicieron fueron las siguientes:

El infinitesimal es algo ambiguo, no definido con exactitud.
No pueden realizarse cálculos exactos con cantidades inexactas.
¿Cómo la suma de infinitésimos puede producir un resultado finito?.
¿Cómo pueden despreciarse términos diferentes de cero y producir resultados exactos?.
“¿Qué son estos evanescentes incrementos? No son ni cantidades finitas ni cantidades infinitamente pequeñas ni nada. ¿No podemos llamarlas fantasmas de cantidades difuntas?” (George Berkeley, en su ensayo de 1734 The Analyst).

Los hitos históricos más importantes fueron:

Las raíces del concepto de infinitésimo se remontan a los antiguos griegos (Arquímedes y Eudoxo) que utilizaron los infinitesimales de manera totalmente intuitiva para el cálculo se superficies y volúmenes de objetos geométricos (círculo, esfera, cono, etc.).
En el siglo XVII, Newton y Leibniz introdujeron el concepto de diferencial (incremento infinitesimal de una variable) y el llamado “cálculo diferencial”, técnica muy poderosa que permitió unificar muchos problemas y disminuir su complejidad, pese a carecer de fundamentos matemáticos sólidos.
Newton utilizó el símbolo “o” como una variable que podía acercarse a cero tanto como quisiera, sin llegar a coincidir. Leibniz utilizó el símbolo dx (pequeña porción de x) y también la consideró una cantidad variable. También afirmaba que no era un cero simple y absoluto, sino un cero relativo y una forma sin magnitud. Y que, aunque no existían realmente, se podía razonar con ellos como si existieran. Para Leibniz, el objetivo último era conseguir una teoría de los infinitesimales que formara parte de la misma estructura de los números reales.
Euler creía que los diferenciales eran cantidades cuantitativamente iguales a cero, y cualitativamente diferentes de cero.
En el siglo XIX, Cauchy introduce el concepto genérico de límite, demostrando que los conceptos de infinitésimo, derivada e integral se podían derivar de este concepto. Para Cauchy, un infinitésimo (como limite) es una variable, cuyo valor cambia de forma activa, decreciendo indefinidamente, convergiendo en el valor cero.
Weierstrass formalizó el concepto de límite de Cauchy. No considera variables a los infinitésimos, al contrario que Cauchy, sino como un miembro genérico de un conjunto posible de valores. Alrededor de 1872 los infinitésimos fueron eliminados formalmente de la matemática y sustituidos por los límites formalizados para definir derivadas, integrales, secuencias convergentes, etc.
Durante el siglo XX se rescató el concepto de infinitésimo, existiendo interés también en los infinitésimos de orden superior. Los físicos utilizaron los diferenciales, pues eran más intuitivos y más fáciles de usar que los límites.
En los 1960s Abraham Robinson introdujo el “Análisis no estándar”, con el concepto de “números hiperreales” [ver Aplicaciones – Matemática – Números Hiperreales].
William Kingdon Clifford introdujo los números duales en 1873 para estudiar la geometría no euclidiana.
Eduard Study, en 1903, definió los ángulos duales para especificar la relación entre dos líneas en el espacio euclidiano. Un ángulo dual es un número dual de la forma φ+εs, siendo φ el ángulo entre dos rectas en el espacio 3D y s la distancia entre las dos rectas.
Finalmente, se introduce el infinitésimo ε como un número imaginario, definido mediante la simple fórmula de sustitución ε² = 0, una formalización similar a la de la unidad imaginaria definida como i² = −1. Con la expresión ε² = 0, los infinitésimos se han formalizado de una manera increíblemente simple y potenciado como verdaderas entidades matemáticas.

Bibliografía

Bell, John L. A Primer of Infinitesimal Analysis. Cambridge University press, 2008.
Cheng, Harry H. Programming with Dual Numbers and its Applications in Mechanisms Design. Engineering with Computers, vol. 10, no. 4, 1994, pp. 212-229. Disponible en Internet.
Dovan, W.G. Los infinitésimos. Editorial Andina, 1981.
Guénon, René. Los principios del cálculo infinitesimal. Sanz y Torres, 2007.
Ian Stewart. Fantasmas de cantidades difuntas. Capítulo 6 de De aquí al infinito. Crítica. Grijalbo Mondadori, S.A., Barcelona, 1996.
Kauffman, Louis H. Virtual Logic. Infinitesimals and Zero Numbers. Cybernetics And Human Knowing, vol. 7, no. 1, 2000, pp. 83-90. Disponible en Internet.
Stroyan, K.D. y Luxemburg, W.A.U. Introduction to the Theory of Infinitesimals. Academic Press, New York, 1976.